Question

在△ABC中，tan

c

2

=

1

2

，

AH

•

BC

=0，

AB

•(

CA

+

CB

)=0，H在BC邊上，則過點B以A、H為兩焦點的雙曲線的離心率為（　　）

• A、

  5 +1

  2

• B、

  5

  -1
• C、

  5

  +1
• D、

  5 -1

  2

Answer 1

分析：由已知中在△ABC中，tan

c

2

=

1

2

，

AH

•

BC

=0，

AB

•(

CA

+

CB

)=0，H在BC邊上，我們根據向量垂直的數量積為0，及二倍角的正切公式，易得△ABC是一個頂角正切為

4

3

的等腰三角形，AH為腰上高，由此設出各邊的長度，然后根據雙曲線的性質及雙曲線離心率的定義，即可求出答案．

解答：解：由已知中

AH

•

BC

=0可得：AH為BC邊上的高
又由

AB

•(

CA

+

CB

)=0可得：CA=CB
又由tan

c

2

=

1

2

，可得tanC=

4

3

令AH=4X，則CH=3X，AC=BC=5X，BH=2X，AB=2

5

X
則過點B以A、H為兩焦點的雙曲線中
2a=2（

5

-1）x，2c=4x
則過點B以A、H為兩焦點的雙曲線的離心率e=

c

a

=

4X

2( 5 -1)X

=

5 +1

2

故選A

點評：本題考查的知識點是雙曲線的簡單性質，其中根據已知求出滿足條件的△ABC的形狀進而求出各邊長是解答本題的關鍵．