Question

拋物線y²=4x的焦點為F，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）（x₁＞x₂，y₁＞0，y₂＜0）在拋物線上，且A，F，B共線，

|AB|

=

25

4

．
（1）求x₁+x₂的值；
（2）求直線AB的方程；
（3）求△AOB的面積．

Answer 1

分析：（1）拋物線y²=4x的準線方程為x=-1，由A，B，F三點共線，結合拋物線的定義，得|

AB

|=x₁+x₂+2=

25

4

．由此能求出x₁+x₂的值．
（2）設直線AB：y=k（x-1），而k=

y1-y2

x1-x2

＞0，由

y=k(x-1) y2=4x

得k²x²-2（k²+2）x+k²=0．由經能求出直線AB的方程．
（3）由O到直線AB的距離是d=

|-4|

42+(-3)2

=

4

5

，能夠得到△AOB的面積為

1

2

×

25

4

×

4

5

=

5

2

．

解答：解：（1）拋物線y²=4x的準線方程為x=-1．
∵A，B，F三點共線．由拋物線的定義，得|

AB

|=x₁+x₂+2=

25

4

．
∴x₁+x₂=

25

4

-2=

17

4

．
（2）設直線AB：y=k（x-1），而k=

y1-y2

x1-x2

，x₁＞x₂，y₁＞0，y₂＜0，∴k＞0，
由

y=k(x-1) y2=4x

得k²x²-2（k²+2）x+k²=0．
∴

x1+x2= 2(k2+2) k2 x1x2=1

，|

AB

|=x1+x2 +2=

2(k2+2)

k2

+2=

25

4

．
∴k2=

16

9

．（8分）
從而k=

4

3

，故直線AB的方程為y=

4

3

(x-1)，即4x-3y-4=0．
（3）∵O到直線AB的距離是d=

|-4|

42+(-3)2

=

4

5

，
∴△AOB的面積為

1

2

×

25

4

×

4

5

=

5

2

．

點評：本題考查x₁+x₂的值，直線方程和三角形的面積，解題時要認真審題，注意拋物線性質的合理運用．