Question

設x，y∈R，i，j是直角坐標平面內x，y軸正方向的單位向量，若a=xi+(y+2)j，b=xi+(y-2)j，且|a|+|b|=8．

(Ⅰ)求點M(x，y)的軌跡C的方程；

(Ⅱ)過點(0，3)作直線l與曲線C交于A、B兩點，設，是否存在這樣的直線l，使，若存在，求出l的方程；若不存在，說明理由．

Answer 1

解：(1)∵a=(x，y+2)，b=(x，y-2)，|a|+|b|=8

∴=8

由橢圓定義知，M點軌跡是以(0，-2)和(0，2)為焦點的橢圓，設其方程為=1(a＞b＞0)

依題意  ∴a=4，c=2，b²=a²-c²=12

∴點M(x，y)的軌跡方程為=1

(Ⅱ)∵l的斜率一定存在，設l：y=kx+3

由消去y,整理得(3k²+4)x²+18kx-21=0

設A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)．∴

∵   ∴四邊形OAPB為平行四邊形

又∵   ∴四邊形OAPB為矩形 

∴=0  即x₁x₂+ y₁y₂=0

∴(1+k²)x₁x₂+3k(x₁+x₂)+9=0

∴-(1+k²)+9=0

解得  k²=    ∴k=±，經檢驗，k=±符合題意所以存在直線l：y=±x+3