Question

已知m∈R,設命題P:x₁和x₂是方程x²-ax-2=0的兩個實根,不等式|m²-5m-3|≥|x₁-x₂|對任意實數a∈［-1,1］恒成立;命題Q:函數f(x)=x³+mx²+(m+)x+6在(-∞,+∞)上有極值.求使P正確且Q正確的m的取值范圍.

Answer 1

思路分析:P:本題主要考查集合的運算、絕對值不等式、應用導數研究函數的單調性及極值等基礎知識.將方程的根與不等式聯系起來,通過解絕對值不等式求出m的范圍,Q:利用導數、根的判別式,求出m的取值范圍,然后求P,Q的交集.

解:(1)由題設x₁和x₂是方程x²-ax-2=0的兩個實根,得x₁+x₂=a且x₁x₂=-2,

∴|x₁-x₂|=.

當a∈［-1,1］時,a²+8的最大值為9,即|x₁-x₂|≤3.

由題意,不等式|m²-5m-3|≥|x₁-x₂|對任意實數a∈［-1,1］恒成立的m的解集等于不等式|m²-5m-3|≥3的解集,由此不等式得m²-5m-3≤-3①或m²-5m-3≥3②.

不等式①的解集為0≤m≤5,

不等式②的解集為m≤-1或m≥6.

因此,當m≤-1或0≤m≤5或m≥6時,P是正確的.

(2)對函數f(x)=x³+mx²+(m+)x+6求導,得f′(x)=3x²+2mx+m+.

令f′(x)=0,即3x²+2mx+m+=0.

此一元二次方程的判別式Δ=4m²-12(m+)=4m²-12m-16.

若Δ=0,則f′(x)=0有兩個相等的實根x₀,且f′(x)的符號如下:

x	(-∞,x0)	x0	(x0,+∞)
f′(x)	+	0	+

因此,f(x₀)不是函數的極值.

若Δ＞0,則f′(x)=0有兩個不相等的實根x₁和x₂(x₁＜x₂),且f′(x)的符號如下:

X	(-∞,x1)	x1	(x1,x2)	x2	(x2,+∞)
f′(x)	+	0	-	0	+

因此,函數f(x)在x=x₁處取得極大值,在x=x₂處取得極小值.

綜上所述,當且僅當Δ＞0時,函數f(x)在(-∞,+∞)上有極值.

由Δ=4m²-12m-16＞0得m＜-1或m＞4,

因此,當m＜-1或m＞4時,Q是正確的.

綜上,使P正確且Q正確的實數m的取值范圍為(-∞,-1)∪(4,5］∪［6,+∞).