Question

【題目】已知函數(shù).

（1）討論在上的單調(diào)性；

（2）當時，求在上的零點個數(shù).

Answer 1

【答案】（1）當時，在上單調(diào)遞增；當時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增（2）有1個零點

【解析】

（1）求得的導函數(shù)，對分成和兩種情況，分類討論的單調(diào)性.

（2）當時，利用的二階導數(shù)判斷出一階導數(shù)的單調(diào)性，結合零點存在性定理求得的零點，由此判斷出的單調(diào)區(qū)間，再結合零點存在性定理，判斷出在區(qū)間上的零點個數(shù).

（1）因為，所以.

因為，所以.

①當，即時，，

所以在上單調(diào)遞增.

②當，即時，令，得.

當時，，所以，

當時，，所以，

所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.

綜上所述，當時，在上單調(diào)遞增；當時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.

（2）當時，，則.

設，則.

當時，，所以在上單調(diào)遞增.

因為，，所以存在，使得，

且在上，單調(diào)遞減，在上，單調(diào)遞增.

所以為在上的最小值.

又因為，，

所以在上有1個零點.