Question

知等差數列{a_n}的前n項和為S_n，且a₃=5，S₁₅=225．
（Ⅰ）求數列{a_n}的通項a_n；
（Ⅱ）設b_n=2an+2n，求數列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設出等差數列的首項和等差，根據等差數列的通項公式及前n項和的公式把已知條件a₃=5，S₁₅=225化簡，得到關于首項和公差的兩個關系式，聯立兩個關系式即可求出首項和公差，根據首項和公差寫出數列的通項公式即可；
（Ⅱ）把求出的通項公式a_n代入b_n=2an+2n中，得到b_n的通項公式，然后列舉出數列的各項，分別利用等差數列及等比數列的前n項和的公式化簡后得到數列{b_n}的前n項和T_n的通項公式．

解答：解：（Ⅰ）設等差數列{a_n}首項為a₁，公差為d，
由題意，得

a1+2d=5 15a1+ 15×14 2 d=225

，
解得

a1=1 d=2

，
∴a_n=2n-1；
（Ⅱ）bn=2an+2n=

1

2

•4n+2n，
∴T_n=b₁+b₂+…+b_n=

1

2

（4+4²+…+4ⁿ）+2（1+2+…+n）
=

4n+1-4

6

+n2+n=

2

3

•4n+n2+n-

2

3

．

點評：此題考查學生靈活等差數列的通項公式及前n項和的公式化簡求值，靈活運用等比數列的前n項和的公式化簡求值，是一道綜合題．