Question

設函數f（x）=2cos²x+sin2x+a（a∈R）．
（1）求函數f（x）的最小正周期和單調遞增區間；
（2）當時，f（x）的最大值為2，求a的值，并求出y=f（x）（x∈R）的對稱軸方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）函數f（x）解析式第一項利用二倍角的余弦函數公式化簡，再利用兩角和與差的正弦函數公式化為一個角的正弦函數，找出ω的值代入周期公式即可求出函數的最小正周期；由正弦函數的單調遞增區間為[2kπ-，2kπ+]（k∈Z）求出x的范圍即為函數的遞增區間；
（2）由x的范圍求出這個角的范圍，利用正弦函數的單調性求出正弦函數的最大值，表示出函數的最大值，由已知最大值求出a的值即可，令這個角等于kπ+（k∈Z），求出x的值，即可確定出對稱軸方程．
解答：解：（1）f（x）=1+cos2x+sin2x+a=sin（2x+）+1+a，
∵ω=2，∴T=π，
∴f（x）的最小正周期π；
當2kπ-≤2x+≤2kπ+（k∈Z）時f（x）單調遞增，
解得：kπ-≤x≤kπ+（k∈Z），
則x∈[kπ-，kπ+]（k∈Z）為f（x）的單調遞增區間；
（2）當x∈[0，]時，≤2x+≤，
當2x+=，即x=時，sin（2x+）=1，
則f（x）max=+1+a=2，
解得：a=1-，
令2x+=kπ+（k∈Z），得到x=+（k∈Z）為f（x）的對稱軸．
點評：此題考查了二倍角的余弦函數公式，兩角和與差的正弦函數公式，三角函數的周期性及其求法，以及正弦函數的單調性，熟練掌握公式是解本題的關鍵．