Question

已知函數f（x）=x³-3x²+2b，滿足：f（1+x）+f（1-x）=2b，且方程f（x）-2t=0在區間[-1，t]（t＞-1）上只有一個解，則實數t的取值范圍是（　　）

• A．[0，1)∪[1+

  5

  ，+∞)∪{2}
• B．[0，1）∪[3，+∞）∪{2}
• C．(-

  1

  2

  ，1)∪[

  7

  2

  ，+∞)∪{2}
• D．(0，2]∪(3，1+

  5

  ]

Answer 1

分析：由于f（1+x）+f（1-x）=2b，代入函數解析式得出b值，從而得出函數f（x）的解析式，又f（x）-2t=0?f（x）=2t，設y=f（x），y=2t，畫出這兩個函數的圖象，如圖所示．下面結合圖象就t的取值進行分類討論，即可得到實數t的取值范圍．

解答：解：由于f（1+x）+f（1-x）=2b，
∴（x+1）³-3（x+1）²+2b+（1-x）³-3（1-x）²+2b=2b
⇒b=2．
∴f（x）=x³-3x²+4，
又f（x）-2t=0?f（x）=2t，設y=f（x），y=2t，
畫出這兩個函數的圖象，如圖所示．
在方程f（x）-2t=0中令x=t得：t³-3t²+4-2t=0，
⇒（t-1）（t²-2t-4）=0⇒t=1或t=1±

5

，
①當t∈[0，1]時，它們在區間[-1，t]（t＞-1）上只有一個交點；
②當t=2時，它們在區間[-1，t]（t＞-1）上只有一個交點；
③當t∈[1+

5

，+∞）時，它們在區間[-1，t]（t＞-1）上只有一個交點；如圖．
綜上所述，則實數t的取值范圍是(-

1

2

，1)∪[

7

2

，+∞)∪{2}．
故選A．

點評：本小題主要考查函數單調性的應用、根的存在性及根的個數判斷、方程的解法等基礎知識，考查運算求解能力，考查數形結合思想、化歸與轉化思想．屬于中檔題．