Question

【題目】已知函數，.

（1）若，在上恒成立，求的取值范圍；

（2）設數列，為數列的前項和，求證：；

（3）當時，設函數的圖象與函數的圖象交于點，，過線段的中點作軸的垂線分別交，于點，問是否存在點，使在處的切線與在處的切線平行？若存在，求出的橫坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）詳見解析；（3）不存在.

【解析】

（1）當時，，即，設，利用導數得到函數的單調性與最值，即可求得求解；

（2）由（1）得在上恒成立，令得，則，即可作出證明；

（3），設點的坐標是，，得到在點處的切線斜率為，在點處的切線斜率為，根據，即，整理得，設，得到函數，，再令，，利用導數得到的單調性和最值，即可求解．

（1）當時，，即，

設，則.

若，顯然不滿足題意；

若，則時，恒成立，

所以在上為減函數，有在上恒成立；

若，則時，，時，

所以在上單調遞增．

∵，∴時，，不滿足題意．

綜上，時在上恒成立．

（2）由（1）得在上恒成立，

令有，，

則，

∴ ，

即.

（3），設點的坐標是，，且，

則點的中點坐標為，

在點處的切線斜率為，

在點處的切線斜率為，

假設在點處的切線與在點處的切線平行，則，即.

所以

，

所以.

設，則，.　①

令，，則.

因為，所以，所以在上單調遞增．

故，則.

這與①矛盾，假設不成立．

故不存在點，使在點處的切線與在點處的切線平行．