Question

如圖，已知△OFQ的面積為S,且·=1.

(1)若＜S＜2,求向量與的夾角θ的取值范圍;

(2)設||=c(c≥2),S=c,若以O為中心，F為一個焦點的橢圓經過點Q，當||取最小值時，求橢圓的方程.

Answer 1

解：(1)由已知，得

   

    ∴tanθ=2S.

    ∵＜S＜2,

    ∴1＜tanθ＜4.

    則＜θ＜arctan4.

(2)以O為原點，在直線為x軸建立平面直角坐標系.

設橢圓方程為+=1(a＞b＞0),Q(x,y).

    =(c,0),則=(x-c,y).

    ∵||·y=c,

    ∴y=.

    又∵·=c(x-c)=1,

    ∴x=c+.

    則||==(c≥2).

    可以證明：當c≥2時，函數t=c+為增函數，∴當c=2時，

    ||_min==,

    此時Q(,).

    將Q的坐標代入橢圓方程，得

    解得

    ∴橢圓方程為+=1.