Question

（2013•海口二模）橢圓C以拋物線y²=8x的焦點為右焦點，且經過點A（2，3）．
（Ⅰ）求橢圓C的標準方程；
（Ⅱ）若F₁，F₂分別為橢圓的左右焦點，求∠F₁AF₂的角平分線所在直線的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設橢圓C的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，由拋物線焦點可求橢圓焦點，根據拋物線定義可求得a，由b²=a²-c²可求得b；
（Ⅱ）易求直線AF₁的方程、直線AF₂的方程，設（x，y）為∠F₁AF₂的角平分線上任意一點，則該點到兩直線距離相等，可得方程，且∠F₁AF₂的角平分線所在直線的斜率為正數，化簡即可得到所求直線方程；

解答：解：（Ⅰ）設橢圓C的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，
易知拋物線y²=8x的焦點為（2，0），所以橢圓的左右焦點分別為（-2，0），（2，0），
根據橢圓的定義2a=

(2+2)2+(3-0)2

+

(2-2)2+(3-0)2

=8，
所以a=4，所以b²=4²-2²=12，
所以橢圓C的方程為

x2

16

+

y2

12

=1．
（ II）由（Ⅰ）知F₁（-2，0），F₂（2，0），
所以直線AF₁的方程為y=

3

4

(x+2)，即3x-4y+6=0，直線AF₂的方程為x=2，
所以∠F₁AF₂的角平分線所在直線的斜率為正數．
設（x，y）為∠F₁AF₂的角平分線上任意一點，則有

|3x-4y+6|

5

=|x-2|，
由斜率為正數，整理得y=2x-1，這就是所求∠F₁AF₂的角平分線所在直線的方程．

點評：本題考查直線方程、橢圓的定義及方程、角平分線及點到直線的距離公式，涉及知識點較多，綜合性較強．