Question

動圓C的方程為x²+y²+2ax-4ay+5=0．
（1）若a=2，且直線y=3x與圓C交于A，B兩點，求弦長|AB|；
（2）求動圓圓心C的軌跡方程；
（3）若直線y=kx-2k與動圓圓心C的軌跡有公共點，求k的取值范圍．

Answer 1

分析：化x²+y²+2ax-4ay+5=0為標準方程，
（1）a=2時，與y=3x聯立，求出A，B的坐標，由兩點間距離公式，可得結論；
（2）動圓圓心為（-a，2a），可求動圓圓心C的軌跡方程；
（3）直線y=kx-2k=k（x-2）過定點（2，0），可得結論．

解答：解：化x²+y²+2ax-4ay+5=0為標準方程得：（x+a）²+（y-2a）²=5a²-5
（1）a=2時，圓方程為：（x+2）²+（y-4）²=15與y=3x聯立解得x₁=1+

2

2

，y₁=3+

3 2

2

；x₂=1-

2

2

，y₂=3-

3 2

2

，即A（1+

2

2

，3+

3 2

2

）、B（1-

2

2

，3-

3 2

2

），
由兩點間距離公式，得|AB|=2

5

；
（2）動圓圓心為（-a，2a），所以x=-a，y=2a，即y=-2x；
（3）因直線y=kx-2k=k（x-2）過定點（2，0），又與y=-2x有公共點，所以k≠-2（因為k=-2時兩條直線平行）．

點評：本題考查圓的方程，考查軌跡方程，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．