Question

拋物線頂點在原點，焦點在x軸上，且過點（8，8），焦點為F
（1）求拋物線的焦點坐標和標準方程；
（2）P是拋物線上一動點，M是PF的中點，求M的軌跡方程．

Answer 1

分析：（1）先設出拋物線方程，因為拋物線過點（8，8），所以點（8，8）的坐標滿足拋物線方程，就可求出拋物線的標準方程，得到拋物線的焦點坐標．
（2）利用相關點法求PF中點M的軌跡方程，先設出M點的坐標為（x，y），P點坐標為（x₀，y₀），把P點坐標用M點的坐標表示，再代入P點滿足的方程，化簡即可得到M點的軌跡方程．

解答：解：（1）拋物線頂點在原點，焦點在x軸上，且過點（8，8），
設拋物線解析式為y²=2px，把（8，8）代入，得，64=2×8p，∴p=4
∴拋物線標準方程為：y²=8x，焦點坐標為F（2，0）
（2）設M（x，y），P（x₀，y₀），
由

x= x0+2 2 y= y0 2

⇒

x0=2x-2 y0=2y

又∵

y

2 0

=8x0，
∴（2y）²=8（2x-2）
∴y²=4（x-1）
∴M的軌跡方程為 y²=4x-4．

點評：本題主要考查了拋物線的標準方程的求法，以及相關點法求軌跡方程，屬于解析幾何的常規題．