Question

已知如下圖，三棱錐P－ABC中，PA⊥平面ABC，PA＝AB，AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，點E與點F分別在PA與PB上，且，，M是PB的中點．

　　（1）求證：BC⊥PC；

　　（2）求異面直線EF與MC所成的角；

　　（3）求直線MC與底面ABC所成的角．

Answer 1

答案：
解析：

（1）證明：∵  ，， ∴  是平面的斜線，是其射影． 　　  又∵  ，由三垂線定理，∴  ． （2）解：連結，由題意，知， 　　  ∴（或的補角）為異面直線與所成的角． 　　在△中，，，∴  ． 由，∴  △為等腰直角三角形，∴  ． ∵  為△斜邊中點，∴  ． 　　在Rt△中，．∴  ，∴  ， 　　即所求異面直線與所成的角為． （3）解：如下圖，∵  且， 　　∴  ，交線為． 　　在平面中，過作于，  則且． 　　由為中點，知為的中點，∴  ． 　　在△中，， 　　∴  ，即直線與底面所成的角為．