Question

雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1的漸近線與圓x²+（y-2）²=1沒有公共點，則雙曲線離心率的取值范圍是

（1，2）

．

Answer 1

分析：雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1的漸近線方程是bx±ay=0，圓x²+（y-2）²=1的圓心O（0，2），半徑r=1，由雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1的漸近線與圓x²+（y-2）²=1沒有公共點，知d=

|0±2a|

a2+b2

＞1，由此能求出雙曲線離心率的取值范圍．

解答：解：雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1的漸近線方程是y=±

b

a

x，
即bx±ay=0，
圓x²+（y-2）²=1的圓心O（0，2），半徑r=1，
∵雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1的漸近線與圓x²+（y-2）²=1沒有公共點，
∴圓心O（0，2）到漸近線bx±ay=0的距離：
d=

|0±2a|

a2+b2

＞1，
∴

2a

c

＞1，
∴e=

c

a

＜2，
∵e＞1，
∴雙曲線離心率的取值范圍是（1，2）．
故答案為：（1，2）．

點評：本題主要考查雙曲線的標準方程，簡單幾何性質，直線與雙曲線的位置關系，圓的簡單性質等基礎知識．考查運算求解能力，推理論證能力；考查函數與方程思想，化歸與轉化思想．