Question

已知函數(shù)f(x)是R上的增函數(shù)，設(shè)F(x)=f(x)-f(a-x).

(1)用函數(shù)單調(diào)性定義證明F(x)是R上的增函數(shù)；

(2)求證：函數(shù)y=F(x)的圖像關(guān)于點(,0)成中心對稱圖形.

Answer 1

思路分析：(1)證明函數(shù)F(x)的單調(diào)性要用到函數(shù)f(x)的單調(diào)性；(2)證明函數(shù)y=F(x)的圖像上任一點關(guān)于點(,0)的對稱點也在函數(shù)y=F(x)圖像上即可.

解：(1)設(shè)x₁、x₂∈R，且x₁＜x₂，則

F(x₁)-F(x₂)=［f(x₁)-f(a-x₁)］-［f(x₂)-f(a-x₂)］

=［f(x₁)-f(x₂)］+［f(a-x₂)-(a-x₁)］.

又∵函數(shù)f(x)是R上的增函數(shù)，x₁＜x₂，

∴a-x₂＜a-x₁.

∴f(x₁)＜f(x₂).∴f(a-x₂)＜f(a-x₁).

∴［f(x₁)-f(x₂)］+［f(a-x₂)-f(a-x₁)］＜0.

∴F(x₁)＜F(x₂).

∴F(x)是R上的增函數(shù).

(2)設(shè)點M(x₀,F(x₀))是函數(shù)F(x)圖像上任意一點，則點M(x₀,F(x₀))關(guān)于點(,0)的對稱點M′(a-x₀,-F(x₀)).

又∵F(a-x₀)=f(a-x₀)-f［a-(a-x₀)］

=f(a-x₀)-f(x₀)

=-［f(x₀)-f(a-x₀)］

=-F(x₀),

∴點M′(a-x₀,-F(x₀))也在函數(shù)F(x)圖像上.

又∵點M(x₀,F(x₀))是函數(shù)F(x)圖像上任意一點，

∴函數(shù)y=F(x)的圖像關(guān)于點(,0)成中心對稱圖形.