Question

 數學課上，張老師用六根長度均為a的塑料棒搭成了一個正三棱錐（如圖所示），然后他將其中的兩根換成長度分別為在和的塑料棒、又搭成了  一個三棱錐，陳成同學邊聽課邊動手操作，也將其中的兩根換掉，但沒有成功，不能搭成三棱錐，如果兩人都將BD換成了長為的塑料棒．

   （1）試問張老師換掉的另一根塑料棒是什么，而陳成同學換掉的另  一根塑料棒又是什么？

請你用學到的數學知識解釋陳成同學失敗的原因；

   （2）試證：平面ABD⊥平面CBD；

   （3）求新三棱錐的外接球的表面積．

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

 （1）張老師換掉的另一根塑料棒是CD（或AD、BC、BA），而陳成同學換掉的另一根塑料棒是AC．……………………………3分

根據題意作出如圖所示的圖形，其中圖(1)表示陳成同學想搭成的三棱錐,取AC中點E，連結BE、DE，因AB²+CB²=AC²=2a²，所以BE是直角△ABC斜邊上的中線，得BE=，同理，DE=，從而由BE+DE==BD,不能構成三角形，所以圖(1)錯誤． …………5分 

   （2）如圖（2），不妨設張老師換掉的另一根塑料捧是CD，取BD中點F，連結AF、CF，因△ABD是等腰三角形，所以AF⊥BD，又△BCD是直角三角形．所以CF＝BF＝DF．又AB=AC＝AD，所以△ABF≌△ACF，從而AF⊥CF，又CF與BD確定平面BCD，所以AF ⊥平面BCD．又AF平面ABD，所以平面ABD⊥平面CBD． ……………………………9分

（3）由（2）可知：三俊錐的外接球的球心必在直線AF上，設球半徑為R，因BF=，AB=a，∴AF=，

由,

所以新三棱錐的外接球的表面積S=．…………………………12分