Question

設矩陣A=

b c d e

，稱為函數f(x)=

bx+c

dx+e

的系數矩陣，其中b，d≠0，矩陣A相應的行列式|A|≠0．設a1=a，a≠-

e

d

，a_n+1=f（a_n），n∈N*，若數列{a_n}是以正整數T為周期的數列，則矩陣A^T可表示成

1 0 0 1

的形式（其中A^T表示T個矩陣A的乘積）．

Answer 1

分析：由于f（a）=

ba+c

da+e

=a₂．再計算出f[f（a）]=

(b 2+dc)a+bc+ec

(db+de)a+dc+e 2

=a³，注意到A 2=

b c d e

 2=

b 2+dc bc+ec db+de dc+e 2

，可見，f²的系數矩陣為A²．同理，f^T+1的系數矩陣為A^T+1f^T+1（x）=f（x），結合矩陣運算的性質得出A^T=E（二階單位矩陣）．

解答：解：∵f（a）=

ba+c

da+e

=a₂．
f[f（a）]=[b（

ba+c

da+e

）+c]÷[d（

ba+c

da+e

）+e]
=

(b 2+dc)a+bc+ec

(db+de)a+dc+e 2

=a³，
A 2=

b c d e

 2=

b 2+dc bc+ec db+de dc+e 2

可見，f²的系數矩陣為A²．
同理，f^T+1的系數矩陣為A^T+1f^T+1（x）=f（x）．
系數矩陣為A．
A^T+1=A，A可逆（行列式不等于0）．
A^T=E（二階單位矩陣）．
故答案為：

1 0 0 1

點評：本小題主要考查二階矩陣、二階單位矩陣、函數值等基礎知識，考查運算求解能力，考查化歸與轉化思想．屬于基礎題．