Question

已知函數f（x）=x³+ax+b．
（1）若f（x）在x=0處取得極值為-2，求a、b的值；
（2）若f（x）在（1，+∞）上是增函數，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先對函數f（x）進行求導，根據f'（0）=0，f（0）=-2，求出a，b的值．
（2）對函數f（x）=x³+ax+b進行求導，轉化成f′（x）在（1，+∞）上恒有f′（x）≥0，求出參數a的取值范圍．

解答：解：（1）根據題意得：
f′（0）=a=0，
f（0）=b=-2．
（2）f′（x）=3x²+a
當a≥0，f′（x）＞0，f（x）在R上遞增，滿足題意；
當a＜0，f′(x)=3x2+a=0，x2=-

a

3

，x1=-

- a 3

，x2=

a -3

∴

a -3

≤1，∴0＞a≥-3
∴綜上，a的取值范圍是a≥-3．

點評：本題主要考查函數的單調性、極值點與其導函數的關系，函數的單調性特征與導數之間的綜合應用能力，把兩個知識加以有機會組合．