Question

如圖，點F為橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的一個焦點，若橢圓上存在一點P，滿足以橢圓短軸為直徑的圓與線段PF相切于線段PF的中點，則該橢圓的離心率為（　　）

• A、

  2

  3

• B、

  5

  3

• C、

  2

  2

• D、

  5

  9

Answer 1

分析：設線段PF的中點為M，另一個焦點F′，利用OM是△FPF′的中位線，以及橢圓的定義求出直角三角形OMF的三邊之長，使用勾股定理求離心率．

解答：解：設線段PF的中點為M，另一個焦點F′，由題意知，OM=b，又OM是△FPF′的中位線，
∴OM=

1

2

PF′=b，PF′=2b，由橢圓的定義知  PF=2a-PF′=2a-2b，
又 MF=

1

2

PF=

1

2

（2a-2b）=a-b，又OF=c，
直角三角形OMF中，由勾股定理得：（a-b）²+b²=c²，又a²-b²=c²，
可求得離心率 e=

c

a

=

5

3

，故答案選 B．

點評：本題考查橢圓的定義，橢圓上任一點到兩個焦點的距離之和等于常數2a．