Question

（2013•松江區一模）某同學對函數f（x）=xcosx進行研究后，得出以下五個結論：
①函數y=f（x）的圖象是軸對稱圖形；
②對任意實數x，f（x）≤|x|恒成立；
③函數y=f（x）的圖象與x軸有無窮多個公共點，且任意相鄰兩點的距離相等；
④函數y=f（x）的圖象與直線y=x有無窮多個公共點，且任意相鄰兩點的距離相等；
⑤當常數k滿足|k|＞1|時，函數y=f（x）的圖象與直線y=kx有且僅有一個公共點．
其中正確的結論序號是

②④⑤

（請寫出所有正確結論序號）．

Answer 1

分析：根據函數為奇函數，得到函數y=f（x）的圖象不是軸對稱圖形，故①不正確；根據余弦函數的值域，結合不等式的性質，可以證出②正確；根據余弦函數的周期性，結合方程根的討論可得③不正確而④正確；最后根據余弦函數的值域，結合方程根的討論，可得⑤正確．

解答：解：對于①，因為f（-x）=-xcosx=-f（x），得函數是奇函數，
所以函數y=f（x）的圖象關于原點對稱，不是軸對稱圖形，故①不正確；
對于②，因為cosx∈[-1，1]，所以f（x）=xcosx≤|x|對任意實數x恒成立，故②正確；
對于③，令f（x）=xcosx=0，得x=0或x=

π

2

+kπ（k∈Z），可得f（x）的圖象雖與x軸有無窮多個公共點，
但相鄰交點的距離可能不相等，故③不正確；
對于④，令f（x）=xcosx=x，得x=2kπ（k∈Z），可得f（x）的圖象與y=x有無窮多個公共點，
且任意相鄰兩點的距離等于2π，故④正確；
對于⑤，令f（x）=kx，可得x=0或cosx=k，因為|k|＞1＞|cosx|，故方程cosx=k無實根，
故函數y=f（x）的圖象與直線y=kx有且僅有一個公共點（0，0），故⑤正確．
故答案為：②④⑤

點評：本題給出特殊的函數表達式，要求我們討論函數的圖象與性質，著重考查了余弦函數的圖象與性質、方程根的討論和函數的奇偶性等知識，屬于基礎題．