Question

【題目】已知函數．

（1）討論函數在定義域內的極值點的個數；

（2）若函數在處取得極值，且對恒成立，求實數的取值范圍；

（3）當且時，試比較與的大小．

Answer 1

【答案】（1）當時， 在上沒有極值點，當時， 在上有一個極值點；（2）；（3）證明見解析.

【解析】試題分析： （1）,當時， 在上恒成立，函數在單調遞減 在上沒有極值點；當時， 得得 在處有極小值當時， 在上沒有極值點，當時， 在上有一個極值點；（2）由函數在處取得極值 ，

令 在上遞減，在上遞增

；（3）令，由（2）可知在上單調遞減，則在上單調遞減當時， ，當時， ．

試題解析：（1），x＞0

當時， 在上恒成立，函數在單調遞減，

∴在上沒有極值點；

當時， 得得，

∴在上遞減，在上遞增，即在處有極小值．

∴當時， 在上沒有極值點，

當時， 在上有一個極值點．

（2）∵函數在處取得極值，∴，∴，

令，可得在上遞減，在上遞增，

∴，即．

（3）令，

由（2）可知在上單調遞減，則在上單調遞減，

∴當時， ，即；

當時， ，∴，當時， ，

∴．