Question

【題目】已知函數f（x）=lnx+ （a＞0）．
（1）求函數f（x）在[1，+∞）上的最小值；
（2）若存在三個不同的實數xi（i=1，2，3）滿足f（x）=ax．
（i）證明：a∈（0，1），f（ ）＞ ；
（ii）求實數a的取值范圍及x1x2x3的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：函數f（x）的導數為f′（x）= ﹣ = ，

當a≥1時，f（x）在[1，a]遞減，在[a，+∞）遞增，

可得f（x）在x=a取得極小值，且為最小值lna+1；

當0＜a＜1時，f′（x）＞0，f（x）在[1，+∞）遞增，

f（1）取得最小值，且為a．

綜上可得當a≥1時，f（x）的最小值為lna+1；

當0＜a＜1時，f（x）的最小值為a；

（2）（i）證明：∵f（x）﹣ax=lnx﹣ax+ ，

∴f（ ）﹣ =ln ﹣ + =2lna﹣ + ﹣ln2，

令g（a）=2lna﹣ + ﹣ln2，

∴g′（a）= ﹣ ﹣ = ，

∴a∈（0，1）時，g'（a）＜0，g（a）單調遞減，

∴g（a）＞g（1）=2﹣ ﹣ln2＞0，

∴a∈（0，1），f（ ）＞ ；

（ii）∵f（x）﹣ax的導數為f′（x）﹣a= ﹣a（1+ ）= ，

令f′（x）=a，∴﹣ax2+x﹣a=0，

∵函數f（x）﹣ax存在不同的零點，∴△=1﹣4a2＞0，

解得﹣ ＜a＜ ，

由0＜a＜ ，令f′（x）=a，得，x4= ，x5= ，

此時，f（x）在（0，x4）上遞減，（x4，x5）上遞增，（x5，+∞）上遞減，

∴f（x）至多有三個零點．

∵f（x）在（x4，1）遞增，∴f（x4）＜f（1）=a，

又∵f（ ）＞ ，

∴x0∈（ ，x4），使得f（x0）=a，

又f（ ）=﹣f（x0）=a，f（1）=a，

∴恰有三個不同零點：x0，1， ，

∴函數f（x）存在三個不同的零點時，a的取值范圍是（0， ）；

且x1x2x3的值為1．

【解析】（1）求出f（x）的導數，對a討論，當a≥1時，當0＜a＜1時，討論單調區間，可得最小值；（2）（i）求出f（ ）﹣ ，構造函數g（a）=2lna﹣ + ﹣ln2，利用導數求得g（a）＞g（1）=2﹣ ﹣ln2＞0，問題得以證明；（ii）求出原函數的導函數，然后討論0＜a＜ f（x）的零點的個數，即可得到x1x2x3的值．