Question

已知偶函數f（x）在R上可導，且f′（1）=1，f（x+2）=f（x-2）則曲線y=f（x）在x=-5處的切線的斜率為

-1

．

Answer 1

分析：f（x+2）=f（x-2）得出周期是4，得到x=-5處的切線的斜率與x=-1的相等，再根據偶函數的性質及f′（1）=1得出f′（-1）=-1，由此可求即f′（-5）的值即為所求切線的斜率．

解答：解：∵f（x+2）=f（x-2）
∴y=f（x）的周期為4，
則f′（-5）=f′（-1）
∵f（x）是偶函數
∴f′（-1）=-f′（1）=-1
所以f′（-5）=f′（-1）=-f′（1）=-1，即所求切線的斜率為-1．
故答案為：-1．

點評：本題考查學生會利用導數求曲線上過某點切線方程的斜率，解題的關鍵是得出f′（x+4）=f′（x），是一道中檔題．