Question

已知．
（1）當時，求證：f（x）在（-1，1）內是減函數；
（2）若y=f（x）在（-1，1）內有且只有一個極值點，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）求出f（x）的導函數，根據的范圍得到f′（-1）≤0且f′（1）≤0，因為導函數圖象開口向上，所以導函數小于0，得到函數為減函數；
（2）設極值點為x∈（-1，1），則f′（x）=0，當a＞時，f（x）在（-1，x）內是增函數，f（x）在（x，1）內是減函數．根據極值點的存在與否得到a的范圍即可．
解答：解：（1）證明：∵f（x）=x³-ax²-3x，
∴f′（x）=2x²-2ax-3．∵|a|≤，∴
又∵二次函數f′（x）的圖象開口向上，?
∴在（-1，1）內f′（x）＜0．故f（x）在（-1，1）內是減函數．
（2）設極值點為x∈（-1，1），則f′（x）=0，?
當a＞時，∵?
∴在（-1，x）內f′（x）＞0，在（x，1）內f′（x）＜0，?
即f（x）在（-1，x）內是增函數，f（x）在（x，1）內是減函數．?
∴當a＞時f（x）在（-1，1）內有且只有一個極值點且是極大值點．?
當a＜時，同理可知f（x）在（-1，1）內有且只有一個極值點，且是極小值點．
當≤a≤時，由（1）知f（x）在（-1，1）內沒有極值點．
故所求a的取值范圍是（-∞，）∪（，+∞）．
點評：考查學生利用導數研究函數單調性的能力，利用導數研究函數極值的能力．