Question

四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，PD⊥底面ABCD，AD=PD，E、F分別為CD、PB的中點。

（Ⅰ）求證：EF⊥平面PAB；

（Ⅱ）設AB=BC，求AC與平面AEF所成的角的大小。

Answer 1

方法一：

（Ⅰ）證明：連結EP，

∵PD⊥底面ABCD，DE在平面ABCD內，

∴PD⊥DE.又CE=ED，PD=AD=BC，∴Rt△BCE≌Rt△PDE.∴PE=BE.

∵F為PB中點，   ∴EF⊥PB.

由三垂線定理得PA⊥AB，

∴在Rt△PAB中PF=AF，又PE=BE=EA，∴△EFP≌△EFA，∴EF⊥FA.

∵PB、FA為平面PAB內的相交直線，∴EF⊥平面PAB.             

（Ⅱ）解：不妨設BC=1，則AD=PD=1，AB=，PA=，AC=.

∴△PAB為等腰直角三角形，且PB=2，F為其斜邊中點，BF=1，且AF⊥PB.

∵PB與平面AEF內兩條相交直線EF、AF都垂直，∴PB⊥平面AEF.

連結BE交AC于G，作GH∥BP交EF于H，則GH⊥平面AEF.   ∠GAH為AC與平面AEF所成的角.

由△EGC∽△BGA可知EG=GB，EG=EB，AG=AC=.

由△EGH∽△EBF可知GH=BF=.∴sin∠GAH=.        

AC與平面AEF所成的角為arcsin.

方法二：

以D為坐標原點，DA的長為單位，建立如圖所示的直角坐標系.

（Ⅰ）證明：

設E(a,0,0)，其中a>0，則C(2a,0,0),A(0,1,0),B(2a,1,0),P(0,0,1),F(a,,).

=(0,,),=(2a,1,－1),=(2a,0,0).  ?=0，

∴EF⊥PB.     ?=0，  ∴EF⊥AB.

又PB平面PAB，AB平面PAB，PB∩AB=B，∴EF⊥平面PAB.               ……6

（Ⅱ）解：由AB=BC，得a=.

可得=(,－1,0), ＝(,1,－1),cos<,>==

異面直線AC、PB所成的角為arccos.    =(,－,),

∴?=0，PB⊥AF.

又PB⊥EF，EF、AF為平面AEF內兩條相交直線，∴PB⊥平面AEF.

∴AC與平面AEF所成的角為－arccos(=arcsin).

即AC與平面AEF所成的角為arcsin.