Question

如圖，兩個工廠A，B相距2 km，點O為AB的中點，現要在以O為圓心，2 km為半徑的圓弧MN上的某一點P處建一幢辦公樓，其中MA⊥AB，NB⊥AB.據測算此辦公樓受工廠A的“噪音影響度”與距離AP的平方成反比，比例系數是1，辦公樓受工廠B的“噪音影響度”與距離BP的平方也成反比，比例系數是4，辦公樓受A，B兩廠的“總噪音影響度”y是受A，B兩廠“噪音影響度”的和，設AP為x km.

(1)求“總噪音影響度”y關于x的函數關系，并求出該函數的定義域；

(2)當AP為多少時，“總噪音影響度”最小？

Answer 1

解：(1)連接OP如圖，設∠AOP＝α，

則.在△AOP中，由余弦定理得

x²＝1²＋2²－2×1×2×cos α

＝5－4cos α.在△BOP中，由余弦定理得

BP²＝1²＋2²－2×1×2×cos(π－α)＝5＋4cos α.

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