Question

如圖，已知四棱錐P-ABCD的底面ABCD為等腰梯形，AB∥DC，AC⊥BD，AC與BD相交于點O，且頂點P在底面上的射影恰為O點，又BO=2，PO=

2

，PB⊥PD．設點M在棱PC上，問M點在什么位置時，PC⊥平面BMD．

Answer 1

分析：先根據條件得到OD=OC=1，BO=AO=2；再建立空間直角坐標系，求出各點坐標，設出點M的坐標；結合P，M，C三點共線得到關于點M的坐標的一個等量關系；再結合PC⊥平面BMD求出關于點M的坐標的另一個等量關系即可求出點M的坐標，進而判斷出其所在位置．

解答：解：∵PO⊥平面ABCD
∴PO⊥BD 
又PB⊥PD，BO=2，PO=

2

由平面幾何知識得：OD=OC=1，BO=AO=2
以O為原點，OA，OB，OP分別為x，y，z 軸建立如圖所示的空間直角坐標系，
則各點坐標為O（0，0，0），A（2，0，0），B（0，2，0），C（-1，0，0），
D（0，-1，0），P（0，0，

2

）
設M（x₀，0，z₀），
由于P，M，C三點共線，
得

PM

∥

PC

，
即(x0，0，z0-

2

) ∥(-1，0，-

2)

由對應系數成比例有z0=

2

x0 +

2

，
則M(x0，0，

2

x0+

2

)
∵PC⊥平面BMD，
∴

PC

⊥

BM

，
∴(-1，0，-

2

)•(x0，-2，

2

x0+

2

)=0
得x0=-

2

3

，
所以z0=

2

3

∴M(-

2

3

，0，

2

3

)
故

PM

MC

=2
則M點是靠近C點的三等分點．

點評：本題主要考察空間向量知識在解決線面垂直，平行中的應用問題．是對基礎知識的綜合考查，屬于中檔題目，這種方法做題的關鍵在于點的坐標不能出錯．