Question

已知定義在R上的奇函數f（x），設其導函數f′（x），當x∈（-∞，0]時，恒有xf′（x）＜f（-x），則滿足

1

3

(2x-1)f(2x-1)＜f(3)的實數x的取值范圍是（　　）

• A．（-1，2）
• B．（-1，

  1

  2

  ）
• C．（

  1

  2

  ，2）
• D．（-2，1）

Answer 1

分析：由函數f（x）是定義在R上的奇函數且xf′（x）＜f（-x）可得，[xf（x）]′＜0，所以函數F（x）=xf（x）為（-∞，0]上的減函數，因為函數F（x）為偶函數，所以函數F（x）=xf（x）為[0，+∞）上的增函數．由

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3

(2x-1)f(2x-1)＜f(3)得（2x-1）f（2x-1）＜3f（3），所以F（2x-1）＜F（3），所以|2x-1|＜3，解得-1＜x＜2．

解答：解：∵函數f（x）是定義在R上的奇函數
∴f（-x）=-f（x）
∴由xf′（x）＜f（-x）可得xf′（x）+f（x）＜0，即[xf（x）]′＜0
∵當x∈（-∞，0]時，恒有xf′（x）＜f（-x），
∴當x∈（-∞，0]時，恒有[xf（x）]′＜0
設F（x）=xf（x）
則函數F（x）=xf（x）為（-∞，0]上的減函數．
∵F（-x）=（-x）f（-x）=（-x）（-f（x））=xf（x）=F（x）
∴函數F（x）為R上的偶函數．
∴函數F（x）=xf（x）為[0，+∞）上的增函數．
∵

1

3

(2x-1)f(2x-1)＜f(3)
∴（2x-1）f（2x-1）＜3f（3）
∴F（2x-1）＜F（3）
∴|2x-1|＜3
解得-1＜x＜2
故選A

點評：本題主要考查了利用導數研究函數的單調性、解不等式，體現了化歸與轉化的數學思想．