Question

四棱錐P-ABCD中，側面PAD⊥底面ABCD，底面ABCD是矩形，BC=2CD=2，又PA=PD，∠APD=90°，E、G分別是BC、PE的中點．
（1）求證：AD⊥PE；
（2）求二面角E-AD-G的大小．

Answer 1

分析：（1）取AD的中點O，連接OP，OE，由已知中PA=PD，結合等腰三角形“三線合一”的性質，得到OP⊥AD，進而得到OE⊥AD，結合線面垂直的判定定理，得到AD⊥平面OPE，最后根據線面垂直的性質得到AD⊥PE；
（2）方法一（幾何法）取OE的中點F，連接FG，OG，結合（1）中結論，可得∠GOE就是二面角E-AD-G的平面角，解三角形GOE，即可得到二面角E-AD-G的大小．
方法二（向量法）以O為坐標原點，建立如圖所示坐標系，分別求出平面ADG和平面EAD的法向量，代入向量夾角公式，即可得到二面角E-AD-G的大小．

解答：證明：（1）如圖，取AD的中點O，連接OP，OE
∵PA=PD，∴OP⊥AD（2分）
又E是BC的中點，∴OE∥AB，∴OE⊥AD．（4分）
又OP∩OE=0，∴AD⊥平面OPE．
而PE?平面OPE，∴AD⊥PE（6分）
（2）
解法一：取OE的中點F，連接FG，OG，
則由（1）易知AD⊥OG，又OE⊥AD，
∴∠GOE就是二面角E-AD-G的平面角（9分）
∵FG=

1

2

OP=

1

2

，OF=

1

2

CD=

1

2

，∴∠GOE=45°
即二面角E-AD-G的大小為45°．（12分）
解法二：建立如圖所示的空間直角坐標系，
則A（1，0，0），D（-1，0，0），P（0，0，1），E（0，1，0）E（8分）
設平面ADG的法向量為D，由C得AB（10分）
又平面EAD的一個法向量為

OP

=(0，0，1)
又因為cos＜n，

OP

＞=

n• OP

|n|•| OP |

=

1

1• 2

=

2

2

（11分）
∴二面角E-AD-G的大小為45°．（12分）

點評：本題考查的知識點是二面觚平面角及求法，直線與平面垂直的判定與性質，其中（1）的關鍵是熟練掌握空間中直線與平面垂直及直線與直線垂直之間的轉化關系，（2）中幾何法的關系是得到∠GOE就是二面角E-AD-G的平面角，而向量法的關鍵是求出兩個半平面的法向量．