Question

設函數f（x）=lnx，g（x）=ax+

b

x

，函數f（x）的圖象與x軸的交點也在函數g（x）的圖象上，且在此點有公切線．
（Ⅰ）求a、b的值；
（Ⅱ）證明：當0＜x≤1時，f（x）≥g（x）；當x＞1時，f（x）＜g（x）．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先求出兩個函數的導函數，再利用函數f（x）的圖象與x軸的交點也在函數g（x）的圖象上，且在此點處f（x）與g（x）有公切線對應的等式即可求a、b的值；
（Ⅱ）先設F（x）=f（x）-g（x），再求出其導函數，得出其在（0，+∞）上是減函數且F（1）=0，即可得f（x）與g（x）的大小．

解答：解：（I）由題意：f′(x)=

1

x

，g′(x)=a-

b

x2

，（2分）
∴由題意可得：

a+b=0 a-b=1

解得

a= 1 2 b=- 1 2

．（5分）
（Ⅱ）由（I）可知g（x）=

1

2

（x-

1

x

），
令F（x）=f（x）-g（x）=lnx-

1

2

（x-

1

x

），
∵F′(x)=

1

x

-

1

2

(1+

1

x2

)=-

1

2

(1+

1

x2

-

2

x

)=-

1

2

(1-

1

x

)2≤0，（8分）
∴F（x）是（0，+∞）上的減函數，而F（1）=0，（9分）
∴當x∈（0，1）時，F（x）＞0，有f（x）＞g（x）；
當x∈（1，+∞）時，F（x）＜0，有f（x）＜g（x）；
當x=1時，F（x）=0，有f（x）=g（x）．
故有當0＜x≤1時，f（x）≥g（x）；當x＞1時，f（x）＜g（x）．（12分）

點評：本題主要考查利用導數求閉區間上函數的最值以及分類討論思想的運用，主要考查導數的應用，屬于中檔題．