Question

（理）已知半球的半徑為R，點A、B、C都在底面圓O的圓周上，且AB為圓O的直徑，BC=2．半球面上的一點到平面ABC的距離為R，又二面角D-AC-B的平面角余弦值為，則該半球的表面積是    ．

Answer 1

【答案】分析：由AB是底面圓O的直徑，知∠ACB=90°．由半球的半徑為R，DO⊥底面圓O，知DO=R，作OE⊥AC，交AC于E，連接DE，則∠DEO是二面角D-AC-B的平面角，由二面角D-AC-B的平面角余弦值為，BC=2，解得R=．由此能求出該半球的表面積．
解答：解：∵AB是底面圓O的直徑，
∴∠ACB=90°．
∵半球的半徑為R，DO⊥底面圓O，
∴DO=R，
作OE⊥AC，交AC于E，連接DE，
則∠DEO是二面角D-AC-B的平面角，
∵二面角D-AC-B的平面角余弦值為，BC=2，
∴OE=，
==，
解得R=．
∴該半球的表面積S=+πR²=4π+2π=6π．
故答案為：6π．
點評：本題考查球的性質和二面角的應用，考查運算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉化思想．對數學思維的要求比較高，有一定的探索性．綜合性強，難度大，是高考的重點．解題時要認真審題，仔細解答．