Question

已知數列{a_n}是首項a₁=

1

2

，公比為

1

2

的等比數列，s_n為數列{a_n}的前n項和，又b_n+5loglog2 (1-sn)=t，常數t∈N^*，數列{C_n}滿足cn=an×b_n．
（Ⅰ）若{c_n}是遞減數列，求t的最小值；
（Ⅱ）是否存在正整數k，使c_k，c_k+1，c_k+2這三項按某種順序排列后成等比數列？若存在，試求出k，t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（I）先根據條件求出數列{a_n}與數列{b_n}的通項，從而求出{c_n}的通項，再根據{c_n}是遞減數列則c_n+1-c_n＜0恒成立，從而可求出t的最小值；
（II）分別以c_k，c_k+1，c_k+2為等比中項建立等式，然后解方程，看其是否有正整數解，從而可判定排列后是否成等比數列．

解答：解：（Ⅰ）由題意知，a_n=(

1

2

)n，∴S_n=

1 2 [1-( 1 2 )n]

1- 1 2

=1-(

1

2

)n，
∴b_n=t-5log₂（1-S_n）=t-5log₂(

1

2

)n=5n+t，∴c_n=（5n+t）(

1

2

)n，
∴{c_n}是遞減數列，
∴c_n+1-c_n=（

5n+5+t

2

-5n-t）(

1

2

)n＜0恒成立，即t＞-5n+5恒成立，
∴f（n）=-5n+5是遞減函數，∴當n=1時f（n）取最大值0，
∴t＞0，又t∈N^*，∴t_min=1．                                   …（6分）
（Ⅱ）記5k+t=x，則c_k=（5n+t）（

1

2

）^k=x（

1

2

）^k，且x∈N^*，
∴c_k+1=（5k+5+t）（

1

2

）^k+1=（x+5）（

1

2

）^k+1，c_k+2=（5k+10+t）（

1

2

）^k+2=（x+10）（

1

2

）^k+2，
①若c_k是等比中項，則由c_k+1•c_k+2=c_k²得：
（x+5）（

1

2

）^k+1•（x+10）（

1

2

）^k+2=x²（

1

2

）^k+2，化簡得：7x²-15x-50=0，顯然不成立．
②若c_k+1是等比中項，則由c_k•c_k+2=c_k+1²得：
x（

1

2

）^k•（x+10）（

1

2

）^k+2=（x+5）²（

1

2

）^2k+2，化簡得：x（x+10）=（x+5）²，顯然不成立．
③若c_k+2是等比中項，則由c_k•c_k+1=c_k+2²得：
（x+5）（

1

2

）^k+1•x（

1

2

）^k=（x+10）²（

1

2

）^2k+4，化簡得：7x²+20x-100=0，
因為△=20²+4×7×100=32×100不是完全平方數，因而x的值是無理數，與x∈N^*矛盾．
綜上：不存在k和t適合題意．…（12分）

點評：本題主要考查了等差等比數列的通項與求和，同時考查了運算求解的能力和分類討論以及轉化的數學思想，屬于中檔題．