Question

已知橢圓的離心率為，過右焦點F的直線l與C相交于A、B兩點，當l的斜率為1時，坐標原點O到l的距離為，
（I）求a，b的值；
（II）C上是否存在點P，使得當l繞F轉到某一位置時，有成立？若存在，求出所有的P的坐標與l的方程；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（I）設F（c，0），則直線l的方程為x-y-c=0，由坐標原點O到l的距離求得c，進而根據離心率求得a和b．
（II）由（I）可得橢圓的方程，設A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），l：x=my+1代入橢圓的方程中整理得方程△＞0．由韋達定理可求得y₁+y₂和y₁y₂的表達式，假設存在點P，使成立，則其充要條件為：點P的坐標為（x₁+x₂，y₁+y₂），代入橢圓方程；把A，B兩點代入橢圓方程，最后聯立方程求得c，進而求得P點坐標，求出m的值得出直線l的方程．
解答：解：（I）設F（c，0），直線l：x-y-c=0，
由坐標原點O到l的距離為
則，解得c=1
又
（II）由（I）知橢圓的方程為
設A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）
由題意知l的斜率為一定不為0，故不妨設l：x=my+1
代入橢圓的方程中整理得（2m²+3）y²+4my-4=0，顯然△＞0．
由韋達定理有：，，①
假設存在點P，使成立，則其充要條件為：
點P的坐標為（x₁+x₂，y₁+y₂），
點P在橢圓上，即．
整理得2x₁²+3y₁²+2x₂²+3y₂²+4x₁x₂+6y₁y₂=6．
又A、B在橢圓上，即2x₁²+3y₁²=6，2x₂²+3y₂²=6、
故2x₁x₂+3y₁y₂+3=0②
將x₁x₂=（my₁+1）（my₂+1）=m²y₁y₂+m（y₁+y₂）+1及①代入②解得
∴，
x₁+x₂=，即
當；
當
點評：本題主要考查了橢圓的性質．處理解析幾何題，學生主要是在“算”上的功夫不夠．所謂“算”，主要講的是算理和算法．算法是解決問題采用的計算的方法，而算理是采用這種算法的依據和原因，一個是表，一個是里，一個是現象，一個是本質．有時候算理和算法并不是截然區分的．例如：三角形的面積是用底乘高的一半還是用兩邊與夾角的正弦的一半，還是分割成幾部分來算？在具體處理的時候，要根據具體問題及題意邊做邊調整，尋找合適的突破口和切入點．