Question

已知圓C：x²+y²+4x=0，相互垂直的兩條直線l₁、l₂都過點A（t，0）．
（Ⅰ）若圓心為M（，m）的圓和圓C外切且與直線x=2相切，求圓M的方程；
（Ⅱ）若l₁、l₂截圓C所得的弦長均為，求t的值．

Answer 1

【答案】分析：（I）確定圓心與半徑，利用圓心為M（，m）的圓和圓C外切且與直線x=2相切，建立方程組，即可求圓M的方程；
（Ⅱ）設出直線方程，利用l₁、l₂截圓C所得的弦長均為，建立方程，即可求t的值．
解答：解：圓C：x²+y²+4x=0，即（x+2）²+y²=4，圓心為（-2，0），半徑為2．…（1分）
（Ⅰ）設圓M的方程為…（2分）
依題意得…（4分）
解得或…（6分）
∴圓M的方程為或．…（7分）
（Ⅱ）顯然，l₁、l₂的斜率都是存在的，設l₁：y=k（x-t），則…（8分）
則由題意，得圓心到直線l₁、l₂的距離均為=…（9分）
∴，…（11分）
解得|k|=1…（12分）
即|t+2|=1，解得t=-3或-1  …（14分）
點評：本題考查圓的標準方程，考查直線與圓的位置關系，考查學生的計算能力，屬于中檔題．