Question

數列{a_n}首項為23，公差為整數的等差數列，且前6項均為正，從第7項開始變為負的：
（1）求此等差數列的公差d；
（2）設前n項和為S_n，求S_n的最大值；
（3）當S_n是正數時，求n的最大值．

Answer 1

分析：（1）利用數列{a_n}首項為23，前6項均為正，從第7項開始變為負，可得a₆＞0，a₇＜0，從而求出d的值；
（2）根據d＜0判斷{a_n}是遞減數列，再由a₆＞0，a₇＜0，得出n=6時，S_n取得最大值；
（3）由等差數列的前n項和公式，根據S_n是正數列出不等式，解不等式即可．

解答：解：（1）∵數列{a_n}首項為23，前6項均為正，從第7項開始變為負
∴a₆=a₁+5d=23+5d＞0，a₇=a₁+6d=23+6d＜0，
解得：-

23

5

＜d＜-

23

6

，
又d∈Z，∴d=-4
（2）∵d＜0，∴{a_n}是遞減數列，
∵a₆＞0，a₇＜0
∴當n=6時，Sn取得最大值，S₆=6×23+

6×5

2

×(-4)=78
（3）S_n=23n+

n(n-1)

2

×（-4）＞0，整理得：n（50-4n）＞0
∴0＜n＜

25

2

，又n∈N^*，
∴n的最大值為12．

點評：本題以等差數列為載體，考查等差數列的性質、通項公式以及前n項和公式．正確運用等差數列通項及前n項和公式，是解題的關鍵．