Question

如圖，四邊形ABCD為矩形，DA⊥平面ABE，AE=EB=BC=2，BF⊥平面ACE于點F，且點F在CE上．
（Ⅰ）求證：AE⊥BE；
（Ⅱ）求三棱錐D-AEC的體積．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由題意證明BC⊥平面ABE，得AE⊥BC，再結(jié)合條件證明AE⊥平面BCE，再證出AE⊥BE；
（Ⅱ）利用題意得到平面ACD⊥平面ABE，作出交線的垂線，利用換低求三棱錐體積．
解答：（Ⅰ）證明：由題意知，AD⊥平面ABE，且AD∥BC
∴BC⊥平面ABE，∵AE?平面ABE
∴AE⊥BC，
∵BF⊥平面ACE，且AE?平面ABE
∴BF⊥AE，又BC∩BF=B，
∴AE⊥平面BCE，
又∵BE?平面BCE，
∴AE⊥BE．

（Ⅱ）在△ABE中，過點E作EH⊥AB于點H，
∵AD⊥平面ABE，且AD?平面ACD，
∴平面ACD⊥平面ABE，∴EH⊥平面ACD．
由已知及（Ⅰ）得EH=AB=，S_△ADC=2．
故V_D-ABC=V_E-ADC=×2×=．
點評：本題主要考查垂直關(guān)系，利用線面垂直的定義和判定定理，進行線線垂直與線面垂直
的轉(zhuǎn)化；求三棱錐體積常用的方法：換底法．