Question

設函數f（x）定義域為R，對一切x、y∈R，均滿足：f（x+y）+f（x-y）=2f（x）cosy，且f（0）=3，f(

π

2

)=4，
（1）求f（π）的值；
（2）求證：f（x）為周期函數，并求出其一個周期；
（3）求函數f（x）解析式．

Answer 1

（1）令x=y=

π

2

，則由原式得：f（π）+f（0）=2f（

π

2

）cos

π

2

=0
∴f（π）=-f（0）=-3
證明：（2）f（x+y）+f（x-y）=2f（x）cosy式中用

π

2

替換y，得f（x+

π

2

（4））+f（x-

π

2

（5））=2f（x）cos

π

2

（6）=0①
∴f（x-

π

2

）=-f（x+

π

2

）=-f[（x-

π

2

）+π]
由x-

π

2

的任意性知，對任意x∈R，均有：f（x）=-f（x+π）②
∴f（x+2π）=f[（x+π）+π]=-f（x+π）=-[-f（x）]=f（x）
∴f（x）為周期函數，且2π為其一個周期．
（3）f（x+y）+f（x-y）=2f（x）cosy式中用

π

2

替換x，用x替換y，得：f（

π

2

+x）+f（

π

2

-x）=2f（

π

2

）cosx=8cosx
由②知：f（

π

2

-x）=-f[（

π

2

-x）-π]=-f[-（

π

2

+x）]
∴f（

π

2

+x）-f[-（

π

2

+x）]=8cosx
用x替換

π

2

+x，得：f（x）-f（-x）=8cos（x-

π

2

）=8sinx③
f（x+y）+f（x-y）=2f（x）cosy式中取x=0，用x替換y，得：f（x）+f（-x）=2f（0）cosx=6cosx④
從而可得，f（x）=4sinx+3cosx