Question

如圖，四棱錐S—ABCD中，底面ABCD是直角梯形，∠BAD＝∠ADC＝90°，AB＝AD＝a，DC＝2a，SD＝a，SD⊥平面ABCD．

　　（1）證明：該四棱錐的四個(gè)側(cè)面都是直角三角形；

　　（2）設(shè)M∈SA，SM＝x，平面CDMSB＝P，證明四邊形CDMP也是直角梯形，并用a與x表示；

　　（3）x為何值時(shí)，CM最短，并求出其最短距離．

 

Answer 1

答案：
解析：

分析（1）△SDA、△SAB、△SDC顯然是直角三角形，關(guān)鍵要證△SBC也是直角三角形，我們可以用勾股定理逆定理來證明；（2）證明CDMP是直角梯形關(guān)鍵要證MP∥CD，這就要證明CD∥平面SAB；（3）在Rt△CDM中利用勾股定理表示出，用二次函數(shù)極值求CM最短距離， 證明（1）SD⊥平面ABCDSD⊥DC，SD⊥DA， 　　 　　因此，△SDC、△SDA、△SAB是直角三角形． 　　∵  SA＝， 　　  BC＝， 　　  SB＝， 　　  SC＝， 　　∴  ， 　　∴  △SBC也是直角三角形，從而棱錐的四個(gè)側(cè)面都是直角三角形．  　　CDMP是直角梯形． 　　∵  MP∥AB，∴  ， 　　MP＝， 　　， 　　 　　　　  ． 解  （3）∵  Rt△CDM中，∠CDM＝90°， 　　∴  　　　　　　 ， 　　因此，當(dāng)x＝時(shí)，CM最小值為．

提示：