Question

（2013•煙臺二模）如圖，平面ABCD⊥平面ADEF，其中ABCD為矩形，ADEF為梯形，AF∥DE，AF⊥FE，AF=AD=2DE=2，M為AD中點．
（Ⅰ） 證明MF⊥BD；
（Ⅱ） 若二面角A-BF-D的平面角的余弦值為

1

3

，求AB的長．

Answer 1

分析：（Ⅰ）證明MF⊥平面ABCD，即可得到結論；
（II）取AF的中點G，過G作GH⊥BF，垂足為H，連接DH，可證得∠DHG為二面角A-BF-D的平面角，解三角形DGH可得答案．

解答：（Ⅰ）證明：∵ADEF為梯形，AF∥DE，AF⊥FE，AF=AD=2DE=2，
∴△ADF為正三角形
∵M為AD中點，∴MF⊥AD
∵平面ABCD⊥平面ADEF，平面ABCD∩平面ADEF=AD，
∴MF⊥平面ABCD
∴MF⊥BD；
（Ⅱ）設AB=x．取AF的中點G．

由題意得DG⊥AF．
∵平面ABCD⊥平面ADEF，AB⊥AD，∴AB⊥平面ADEF，∴AB⊥DG．
∴DG⊥平面ABF．
過G作GH⊥BF，垂足為H，連接DH，則DH⊥BF，∴∠DHG為二面角A-BF-D的平面角．
在直角△AGD中，AD=2，AG=1，得DG=

3

在直角△BAF中，由

AB

BF

=sin∠AFB=

GH

FG

得

GH

x

=

1

x2+4

，∴GH=

x

x2+4

在直角△DGH中，DG=

3

，GH=

x

x2+4

，∴DH=2

x2+3

x2+4

∵cos∠DHG=

GH

DH

=

1

3

，∴x=

2 15

5

，∴AB=

2 15

5

點評：本題考查線面垂直，考查面面角，考查學生的計算能力，正確作出面面角是關鍵．