Question

【題目】已知函數f（x）= ，其中[x]表示不超過x的最大整數．設n∈N* ， 定義函數fn（x）：f1（x）=f（x），f2（x）=f（f1（x）），…，fn（x）=f（fn﹣1（x））（n≥2），則下列說法正確的有 ①y= 的定義域為 ；
②設A={0，1，2}，B={x|f3（x）=x，x∈A}，則A=B；
③ ；
④若集合M={x|f12（x）=x，x∈[0，2]}，
則M中至少含有8個元素．（ ）
A.1個
B.2個
C.3個
D.4個

Answer 1

【答案】C
【解析】解：當0≤x＜1時，f（x）=2（1﹣x）； 當1≤x≤2時，f（x）=x﹣1．
即有f（x）= ，
畫出y=f（x）在[0，2]的圖象．
對于①，可得f（x）≤x，當1≤x≤2時，x﹣1≤x成立；
當0≤x＜1時，2（1﹣x）≤x，解得 ≤x＜1，即有定義域為{x| ≤x≤2}，
故①正確；
對于②，當x=0時，f3（0）=f[f2（0）]=f（f（f（0）））=f（f（2））=f（1）=0成立；
當x=1時，f3（1）=f[f2（1）]=f（f（f（1）））=f（f（0））=f（2）=1成立；
當x=2時，f3（2）=f[f2（2）]=f（f（f（2）））=f（f（1））=f（0）=2成立；
即有A=B，故②正確；
對于③，f1（ ）=2（1﹣ ）= ，f2（ ）=f（f（ ））=f（ ）=2（1﹣ ）= ，
f3（ ）=f（f2（ ））=f（ ）= ﹣1= ，f4（ ）=f（f3（ ））=f（ ）=2（1﹣ ）= ，
一般地，f4k+r（ ）=fr（ ）（k，r∈N）．
即有f2016（ ）+f2017（ ）=f4（ ）+f1（ ）= + = ，故③不正確；
對于④，由（1）知，f（ ）= ，∴fn（ ）= ，則f12（ ）= ，∴ ∈M．
由（2）知，對x=0、1、2，恒有f3（x）=x，∴f12（x）=x，則0、1、2∈M．
由（3）知，對x= 、 、 、 ，恒有f12（x）=x，∴ 、 、 、 ∈M．
綜上所述 、0、1、2、 、 、 、 ∈M．
∴M中至少含有8個元素．故④正確．
故選：C．