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如圖,三棱柱ABC-A1B1C1中,側棱AA1⊥底面ABC,△ABC為邊長為2的正三角形,點P在A1B上,且AB⊥CP.
(1)證明:P為A1B中點.
(2)若A1B⊥AC1,求二面角B1-PC-B的余弦值.
【答案】分析:(1)取AB中點Q,連接PQ,由于CQ⊥AB,AB⊥CP,根據線面垂直的判定定理可知AB⊥平面CPO,從而得到AB⊥PQ又A1A⊥AB得A1A∥PQ,而點Q是AB的中點,得到P為A1B的中點;
(2)連接AB1,取AC中點R,連接A1R,連B1A,B1R,BR,過B作BH⊥B1R,垂足為H,過B作BG⊥PC,連接GH,根據二面角的平面角的定義可知∠BGH為二面角B1-PC-B的平面角,在三角形BGH中求出此角即可.
解答:解:(1)證明:取AB中點Q,∴CQ⊥AB
又∵AB⊥CP,∴AB⊥平面CPO∴AB⊥PQ,A1A⊥AB
得A1A∥PQ,點Q是AB的中點
∴P為A1B的中點(4分)
(2)連接AB1,取AC中點R,連接A1R,
則BR⊥平面A1C1CA,∴BR⊥AC1,由已知A1B⊥AC1,∴A1R⊥AC1,∴△AC1C~△A1RA∴,∴(6分)
,則AC=2
連B1A,B1R,BR,∵AC⊥平面B1BR,∴平面B1AC⊥平面B1BR,
平面B1AC∩平面B1BR=B1R,過B作BH⊥B1R,垂足為H,
則BH⊥平面B1PC,過B作BG⊥PC,
連接GH,那么∠BGH為二面角B1-PC-B的平面角(8分)
在△B1BR中,在△PBC中,(10分)∴(12分)
點評:本題主要考查了直線與平面垂直的性質,以及二面角的度量,考查空間想象能力,幾何邏輯推理能力,以及計算能力,屬于常規題.
練習冊系列答案
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如圖,三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ACB=90°,CC1⊥平面ABC,AC=BC=CC1=1,則直線A1C1和平面ACB1的距離等于
 
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12
AA1,D是棱AA1的中點.
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(Ⅱ)平面BDC1分此棱柱為兩部分,求這兩部分體積的比.

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(1)證明:AD⊥BC1
(2)證明:A1C∥平面AB1D.

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(2012•大連二模)如圖,三棱柱ABC-A′B′C′,cc′=
2
,BC′=
2
,BC=2,△ABC是以BC為底邊的等腰三角形,平面ABC⊥平面BCC′B′,E、F分別為棱AB、CC′的中點.
(I)求證:EF∥平面A′BC′;
(Ⅱ)若AC≤
2
,且EF與平面ACC'A'所成的角的余弦為
7
3
,求二面角C-AA'-B的大小.

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