Question

橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的兩焦點(diǎn)為F₁，F(xiàn)₂，P為橢圓上的點(diǎn)，若使∠F₁PF₂=90°的P點(diǎn)有四個不同的位置，則離心率e的范圍

(

2

2

，1)

．

Answer 1

分析：由橢圓的幾何性質(zhì)可知，當(dāng)點(diǎn)P位于（0，b）或（0，-b）處時，∠F₁PF₂最大，欲使∠F₁PF₂=90°的P點(diǎn)有四個不同的位置，必須∠F₁PF₂＞90°，此時 cos∠F1PF2=

a2+a2-4c2

2a2

=

a2-2c2

a2

＜0，∴a＜

2

c，由此能夠推導(dǎo)出該橢圓的離心率的取值范圍．

解答：解：由題意可知，當(dāng)點(diǎn)P位于（0，b）或（0，-b）處時，∠F₁PF₂最大，
由條件：使∠F₁PF₂=90°的P點(diǎn)有四個不同的位置，必須∠F₁PF₂＞90°，
故 cos∠F1PF2=

a2+a2-4c2

2a2

=

a2-2c2

a2

＜0，⇒a＜

2

c，
∴e=

c

a

＞

2

2

，
又∵0＜e＜1，∴1＞e＞

2

2

．
故答案為：(

2

2

，1)．

點(diǎn)評：本題考查橢圓的性質(zhì)及其應(yīng)用、余弦定理等基礎(chǔ)知識，正確解題的關(guān)鍵是知道當(dāng)點(diǎn)P位于（0，b）或（0，-b）處時，∠F₁PF₂最大．