Question

設定義域為R的函數f（x）滿足下列條件：對任意x∈R，f（x）+f（-x）=0，且對任意x₁，x₂∈[1，a]（a＞1），當x₂＞x₁時，有f（x₂）＞f（x₁）＞0．給出下列四個結論：
①f（a）＞f（0）
②f(

1+a

2

)＞f(

a

)
③f(

1-3a

1+a

)＞f(-3)
④f(

1-3a

1+a

)＞f(-a)
其中所有的正確結論的序號是

 

．

Answer 1

分析：由f（x）+f（-x）=0，得f（-x）=-f（x），即函數是奇函數，由x₂＞x₁時，有f（x₂）＞f（x₁）＞0．得到函數在[1，a]上是增函數，然后利用奇偶性和單調性分別進行判斷即可．

解答：解：∵f（x）+f（-x）=0，
∴f（-x）=-f（x），即函數是奇函數，
由x₂＞x₁時，有f（x₂）＞f（x₁）＞0．得到函數在[1，a]上是增函數．
∵函數f（x）是奇函數，∴f（0）=0，
∵a＞1，
∴f（a）＞f（0）成立，即①正確．
當a＞1時，

1+a

2

＞

2 a

2

=

a

，且函數在[1，a]上是增函數．
∴f(

1+a

2

)＞f(

a

)成立，即②正確．

1-3a

1+a

-(-3)=

4

1+a

＞0，
∴

1-3a

1+a

＞-3，則0＜

3a-1

1+a

＜3，但無法確定3，

3a-1

1+a

是否在單調遞增區間[1，a]上，
∴f（3）和f（

3a-1

1+a

）無法比較大小，∴③不成立．

1-3a

1+a

-(-a)=

(a-1)2

1+a

＞0，
∴

1-3a

1+a

＞-a，即a＞

3a-1

1+a

=3-

4

a+1

≥1，
∴f（a）＞f(

3a-1

1+a

)成立，∵f（x）是奇函數，
∴-f（a）＜-f（

3a-1

1+a

），
即f(

1-3a

1+a

)＞f(-a)成立，∴④正確．
故答案為：①②④．

點評：本題主要考查函數性質的應用，利用函數奇偶性和單調性之間的關系是解決本題的關鍵，綜合性較強，難度較大．