Question

[理]已知函數(shù)f（x）=ax-

b

x

-2lnx，f（1）=0．
（1）若函數(shù)f（x）在其定義域內為單調函數(shù)，求a的取值范圍；
（2）若函數(shù)f（x）的圖象在x=1處的切線的斜率為0，且a_n+1=f′（

1

an-n+1

）-n²+1，已知a₁=4，求證：a_n≥2n+2．

Answer 1

分析：（1）先由f（1）=0得出a，b的關系式，再求出f（x）的導數(shù)，根據(jù)f′（x）＞0求得的區(qū)間是單調增區(qū)間，f′（x）＜0求得的區(qū)間是單調減區(qū)間，根據(jù)若函數(shù)f（x）在其定義域內為單調函數(shù)得到：在（0，+∞）內f′（x）恒大于等于0或恒小于等于0．最后對a分類討論即可求出a的取值范圍．
（2）先由題意求得f′（

1

an-n+1

）．對于關于自然數(shù)n的命題：a_n+1=f′（

1

an-n+1

）-n²+1，常用數(shù)學歸納法證明，

解答：解：（1）因為f（1）=a-b=0，所以a=b，
所以f（x）=ax-

a

x

-2lnx，
所以f′（x）=a+

a

x2

-

2

x

．
要使函數(shù)f（x）在定義域（0，+∞）內為單調函數(shù)，
則在（0，+∞）內f′（x）恒大于等于0或恒小于等于0．
當a=0時，則f′（x）=-

2

x

＜0在（0，+∞）內恒成立；適合題意．
當a＞0時，要使f′（x）=a（

1

x

-

1

a

）²+a-

1

a

≥0恒成立，則a-

1

a

≥0，解得a≥1；
當a＜0時，由f′（x）=a+

a

x2

-

2

x

＜0恒成立，適合題意．
所以a的取值范圍為（-∞，0]∪[1，+∞）．
（2）根據(jù)題意得：f′（1）=0，即a+a-2=0，得a=1，
所以f′（x）=（

1

x

-1）²，
于是a_n+1=f′（

1

an-n+1

）-n²+1=（a_n-n）²-n²+1
=a_n²-2na_n+1．
用數(shù)學歸納法證明如下：
當n=1時，a₁=4=2×1+2，
當n=2時，a₂=9＞2×2+2；
假設當n=k（k≥2且k∈N^*）時，不等式a_k＞2k+2成立，即a_k-2k＞2成立，
則當n=k+1時，a_k+1=a_k（a_k-2k）+1＞（2k+2）×2+1=4k+5＞2（k+1）+2，
所以當n=k+1，不等式也成立，
綜上得對所有n∈N^*時，都有a_n≥2n+2．

點評：本小題主要考查用數(shù)學歸納法證明不等式、函數(shù)單調性的應用、導數(shù)的應用等基礎知識，考查運算求解能力、化歸與轉化思想．屬于基礎題．數(shù)學歸納法的基本形式：設P（n）是關于自然數(shù)n的命題，若：1°P（n₀）成立（奠基）；2°假設P（k）成立（k≥n₀），可以推出P（k+1）成立（歸納），則P（n）對一切大于等于n₀的自然數(shù)n都成立．