Question

已知函數f(x)=cos(

π

2

-x)-2cos2

x

2

+1(x∈R)、
（1）當x取什么值時，函數f（x）取得最大值，并求其最大值；
（2）若α∈(

π

4

，

π

2

)，且f(α)=

1

5

，求sinα、

Answer 1

分析：（1）f（x）=sinx-cosx=

2

sin(x-

π

4

)，故 當x-

π

4

=2kπ+

π

2

(k∈Z)，f（x）有最大值為

2

．
（2）利用同角三角函數的基本關系，求出α-

π

4

的正弦和余弦，由 sinα=sin[(α-

π

4

)+

π

4

]，利用兩角和的正弦
公式求得結果．

解答：解：（1）f（x）=sinx-cosx=

2

sin(x-

π

4

)，
當x-

π

4

=2kπ+

π

2

(k∈Z)，即x=2kπ+

3π

4

(k∈Z)時，f（x）有最大值為

2

．
（2）f(α)=

2

sin(α-

π

4

)=

1

5

，∴sin(α-

π

4

)=

2

10

，
∵α∈(

π

4

，

π

2

)，∴α-

π

4

∈(0，

π

4

)，∴cos(α-

π

4

)=

1-sin2(α- π 4 )

=

7 2

10

，
∴sinα=sin[(α-

π

4

)+

π

4

]=sin(α-

π

4

)cos

π

4

+cos(α-

π

4

)sin

π

4

 
=

2

10

×

2

2

+

7 2

10

×

2

2

=

4

5

．

點評：本題考查兩角和差的正弦公式的應用，同角三角函數的基本關系，以及誘導公式的應用，正弦函數的最值，角的變換是解題的難點和關鍵．