Question

2012年，商品價格一度成為社會熱點話題，某種新產品投放市場的100天中，前40天價格呈直線上升，由于政府及時采取有效措施，從而使后60天的價格呈直線下降，現統計出其中4天的價格如下表

時間	第4天	第32天	第60天	第90天
價格（元）	23	30	22	7

（1）寫出價格f（x）關于時間x的函數關系式（x表示投放市場的第x天）；
（2）銷售量g（x）與時間x的函數關系：g(x)=-

1

3

x+

109

3

（1≤x≤100，且x∈N），則該產品投放市場第幾天銷售額最高？最高為多少元？

Answer 1

分析：（1）價格直線上升，直線下降，說明價格函數f（x）是一次函數，由表中對應關系用待定系數法易求f（x）的表達式；
（2）由銷售額=銷售量×時間，得日銷售額函數S（x）的解析式，從而求出S（x）的最大值．

解答：解：（1）由題意知，當1≤x＜40時，一次函數y=ax+b過點A（4，23），B（32，30），代入函數求得a=

1

4

，b=22；
當40≤x≤100時，一次函數y=kx+m過點C（60，22），D（90，7），代入函數求得k=-

1

2

，m=52；
∴函數解析式為：y=f（x）=

1 4 x+22，(1≤x＜40，x∈N) - 1 2 x+52 ，(40≤x≤100，x∈N)

（2）設日銷售額為S千元，當1≤x＜40時，S（x）=（

1

4

x+22）•（-

1

3

x+

109

3

）=-

1

12

（x-

21

2

）²+

38809

48

；
∴當x=10或11時，函數有最大值S（x）_max=

9702

12

=808.5（千元）；
當40≤x≤100時，S（x）=（-

1

2

x+52）•（-

1

3

x+

109

3

）=

1

6

（x²-213x+11336）；
∴當x=40時，s（x）_max=736（千元）．
綜上所知，日銷售額最高是在第10天或第11天，最高值為808.5千元．

點評：本題考查函數模型的構建，考查求分段函數的解析式和最大值的應用題，考查求二次函數在閉區間上的最大值，屬于中檔題．