Question

已知M是所有同時滿足下列性質的函數f（x）的集合：
①函數f（x）在其定義域是單調函數；
②在函數f（x）的定義域內存在區間[a，b]，使得f（x）在[a，b]上的最小值是a，最大值是b．
（1）判斷函數f（x）=x²，x∈[0，+∞）是否屬于集合M？若是，請求出相應的區間[a，b]；若不是，請說明理由；
（2）證明：函數f（x）=3log₂x屬于集合M；
（3）若函數f（x）=

mx

1+|x|

屬于M，求實數m的取值范圍．

Answer 1

考點：對數函數圖象與性質的綜合應用

專題：計算題,函數的性質及應用

分析：（1）易知函數f（x）=x²在[0，+∞）上單調遞增，再求解f（x）-x=x²-x=0，從而得到區間為[0，1]；
（2）先證明單調性，再作圖說明F（x）=3log₂x-x有兩個零點即可；
（3）由于函數f（x）=

mx

1+|x|

在R上連續，且是奇函數，故只需f（x）=

mx

1+|x|

在[0，+∞）上單調，且有區間即可；求導確定單調性，令H（x）=

mx

1+|x|

-x=

-x(x-m+1)

1+x

=0求解．

解答： 解：（1）易知函數f（x）=x²在[0，+∞）上單調遞增，
令f（x）-x=x²-x=0，
解得，x=0或x=1；
故區間為[0，1]；
故函數f（x）=x²，x∈[0，+∞）屬于集合M；
（2）證明：函數f（x）=3log₂x在其定義域（0，+∞）上單調遞增，
令F（x）=3log₂x-x，
其圖象如下，

故其與x軸的交點可作為a，b；
故函數f（x）=3log₂x屬于集合M；
（3）函數f（x）=

mx

1+|x|

在R上連續，且是奇函數，
故只需f（x）=

mx

1+|x|

在[0，+∞）上單調，
則f′（x）=

m

(1+x)2

，
故m≠0；
f（0）=0，
H（x）=

mx

1+|x|

-x=

-x(x-m+1)

1+x

=0，
故，m-1＞0，
故m＞1．

點評：本題考查了函數的單調性的判斷及零點的判斷，同時考查了函數的圖象的應用，屬于中檔題．