Question

如圖，已知平行四邊形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB=1，AD=2，∠ADC=60°，AF=a（a＞0），M是線段EF的中點．
（1）求證：AC⊥BF；
（2）若二面角F-BD-A的大小為60°，求a的值；
（3）令a=1，設點P為一動點，若點P從M出發，沿棱按照M→E→C的路線運動到點C，求這一過程中形成的三棱錐P-BFD的體積的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）建立空間直角坐標系，求出，即可證明AC⊥BF；
（2）求出平面ABD的法向量，利用及二面角F-BD-A的大小為60°，求a的值；
（3）解1a=1，設AC與BD交于O，則OF∥CM，所以CM∥平面FBD，當P點在M或C時，直接求出三棱錐P-BFD的體積的最小．
解2，求出，利用公式，求解即可．
解答：解：建立空間坐標系，

（1）
，
所以AC⊥BF．（5分）

（2）平面ABD的法向量，
平面FBD的法向量

（3）解1設AC與BD交于O，則OF∥CM，所以CM∥平面FBD，
當P點在M或C時，三棱錐P-BFD的體積的最小．
（14分）
解2設AC與BD交于O，則OF∥CM，所以CM∥平面FBD，
當P點在M或C時，三棱錐P-BFD的體積的最小．
，
平面FBD的法向量
點C到平面FBD的距離．（14分）
點評：本題考查用空間向量求平面間的夾角，棱柱、棱錐、棱臺的體積，向量語言表述線線的垂直、平行關系，考查空間想象能力，邏輯思維能力，是中檔題．