Question

如圖，半徑為R的半球O的底面圓O在平面α內，過點O作平面α的垂線交半球面于點A，過圓O的直徑CD作平面α成45°角的平面與半球面相交，所得交線上到平面α的距離最大的點為B，該交線上的一點P滿足∠BOP=60°，則A、P兩點間的球面距離為（ ）

A．
B．
C．
D．

Answer 1

【答案】分析：由題意求出AP的距離，然后求出∠AOP，即可求解A、P兩點間的球面距離．
解答：解：半徑為R的半球O的底面圓O在平面α內，過點O作平面α的垂線交半球面于點A，過圓O的直徑CD作平面α成45°角的平面與半球面相交，所得交線上到平面α的距離最大的點為B，所以CD⊥平面AOB，
因為∠BOP=60°，所以△OPB為正三角形，P到BO的距離為PE=，E為BQ的中點，AE==，
AP==，
AP²=OP²+OA²-2OP•OAcos∠AOP，，
cos∠AOP=，∠AOP=arccos，
A、P兩點間的球面距離為，
故選A．
點評：本題考查反三角函數的運用，球面距離及相關計算，考查計算能力以及空間想象能力．